UPC    ETSAV    CAIRAT
  ESCOLA D'ARQUITECTURA DEL VALLÈS
  DIBUIX II
  Presentació
  Professors
  Tutorials
  Temes de geometria
  Temes de dibuix
  Treballs de taller
  Treballs d'anys anteriors
  Bibliografia
  Atenea

 

  Inici  >>   Temes de geometria >> Figures polièdriques  
  Figures polièdriques  
  (Arxiu pdf)

Poliedres regulars. Posicions d'anàlisi

La recerca de figures pures, amb relacions mètriques i posicionals repetides entre les seves parts ha donat molta literatura entre els científics, artistes, humanistes i filòsofs en totes les èpoques de la nostra civilització. Per a nosaltres, és ara una ocasió de conèixer algunes de les seves qualitats geomètriques i peculiaritats constructives.

L’estudi dels políedres regulars no només és un recurs conceptual amb una càrrega simbòlica important, de la que l’arquitectura en participa, si no que dóna un material didàctic per a l’aprenentatge de les possibilitats del control geomètric de les formes arquitectòniques. Són figures de les que coneixem les característiques i les proporcions i ens permeten treballar la capacitat d’abstracció geomètrica, gràcies a la qual podem pensar que cada exemple o cada problema concret es pot reconduir al cas general.

La matemàtica ha demostrat que les possibilitats de trobar una figura que tanqui l’espai tridimensional amb plans, de manera que les cares que queden són polígons regulars iguals amb angles iguals i arestes iguals només són cinc. El tetràedre, el cub, l’octàedre, el dodecàedre i icosàedre. No n’hi ha més. Les seves posicions d’anàlisi permeten construir-los a partir d’un dada i de la seva col·locació en l’espai en relació als plans de projecció.
 

 
   
 

Un poliedre regular pel fet de ser-ho queda determinat a partir de molt poques dades. Si tenim aquesta informació gràficament podem, amb les vistes adequades construir tota la figura amb molt poc esforç. Vegem doncs en quines són les posicions d’anàlisi per a cada figura.

El cub
 

 
   

El cub, ja s’ha treballat en els exercicis perquè és el més intuïtiu, ja que es correspon als plans cartesians de les coordenades de referència en que nosaltres ordenem l’espai i els volums. En sistema dièdric de projecció, podem veure’l amb les cares paral·leles als plans de projecció (la planta i l’alçat).

O bé, si el girem respecte d’un eix vertical, podem arribar a tenir en posició frontal un pla diagonal (el que se’n diu la secció principal del cub) i està definida pel rectangle format per dues arestes oposades i dues diagonals de cara.
 

 
  Si a més el fem un gir segons un eix de punta, podem arribar a tenir la diagonal que uneix dos vèrtex passant pel centre del poliedre (la diagonal principal) vertical, amb la qual cosa el dibuix que tenim en planta és d’un hexàgon regular, i a més les relacions mètriques de l’alçat són unes de molt concretes. Aquesta imatge en planta és exactament la mateixa que una isometria del cub però l’escala dels eixos no seria en vertadera magnitud.
 
 
   
 

 


El tetràedre és el primer poliedre, el que tanca una porció d’espai amb menys plans, quatre, que són triangles equilàters. Una bona manera de pensar sobre quines relacions tenen les seves arestes i les seves cares entre elles és pensar que un tetràedre es pot generar unint les diagonals de cara d’un cub (es pot deduir que, en un cub, hi ha dos tetràedres inscrits d’aquesta manera: un per a cada diagonal del quadrat que prenem).

A partir d’aquesta idea és més fàcil entendre quines són les posicions d’anàlisi del tetràedre i com controlar-ne la construcció. Per a la seva construcció hem de conèixer les dimensions del políedre. En un tetràedre l’aresta i l’altura de cada cara són les magnituds a tenir en compte.

Observem les sis arestes (la diagonal de cada cara del cub conjugat) i veurem que cadascuna en té una altra de oposada, perpendicular a ella.
 

 
    Si tenim una aresta a terra l’altra es veurà perpendicular, en planta, a ella. Si una de les dues està de punta, l’altra quedarà frontal i per tant estarà en vertadera magnitud en l’alçat, i en aquesta posició, les dues cares laterals queden de cantell i en l’alçat, veurem també en vertadera magnitud les respectives altures de cara. Aquesta és una de les posicions d’anàlisi que ens permet construir tota la figura a partir d’una magnitud coneguda.  
 

El tetràedre

Si el tetràedre té una de les cares a terra, com en la següent figura, la podem construir en planta per què és un triangle equilàter i, en aquesta planta, el veurem com una piràmide triangular regular i les tres arestes que no estan a terra es veuen projectades com a bisectrius del triangle de la base. Si, a més, un dels costats d’aquest triangle està de punta, veurem a l’alçat, un triangle format per una altura de cara a terra, una altura de cara des de l’aresta de punta i una aresta frontal que uneix els dos vèrtexs.
 

 
   
 


Observem que passaríem d’una posició a l’altra fent pivotar la figura entorn de l’aresta que està de punta, com s’indica en el dibuix anterior de l’esquerra.

L'octàedre
 

 
   

L’octàedre es una altra figura també conjugada del cub atès que el podem construir unint els punts centrals de cada cara del cub entre ells. Aquesta relació geomètrica entre el cub i l’octàedre ajuda a entendre quines relacions mètriques i posicionals tenen els elements de la figura que analitzem. També es pot entendre aquest políedre com dues piràmides quadrades regulars unides per la base.

Per a cada parella de vèrtex oposats hi ha una diagonal principal que els uneix. Les tres diagonals principals són perpendiculars entre elles, seguint les tres direccions de l’espai, paral·leles a les tres direccions de les arestes del cub. Cadascuna d’aquestes diagonals és perpendicular al quadrat que uneix els altres quatre vèrtexs, que formen una secció principal de l’octàedre. Per tant un octàedre té tres diagonals principals iguales i tres seccions principals iguales.
 

 
   
   

Vegem com es pot representar en sistema dièdric i quines són les seves posicions d’anàlisi:

Si tenim una cara a terra amb una aresta de punta tindrem, en planta, que aquesta cara és un triangle equilàter, en vertadera magnitud, i el podrem construir tot ,a l’alçat, dibuixant dos triangles dels quals en coneixem totes les mides. La imatge de l’alçat és un rombe, els seus costats mesuren l’altura de cara del triangle equilàter i la diagonal petita té la mesura de la seva aresta.

Si l’octàedre té una de les seves tres diagonals verticals, en planta, veurem el quadrat de la secció principal corresponent, en vertadera magnitud, i en alçat podem construir tot l’octàedre si aquesta secció principal està amb els costats paral·lels a l’alçat o bé si el que té paral·lel al pla vertical és una de les seves diagonals, en aquesta situació es dóna la curiositat que l’alçat i la planta són dos dibuixos exactament iguals: un quadrat amb les dues diagonals.
 

 
   
 


Hem deixat per últim dos políedres que no tenen aquesta relació tan clara amb la geometria del cub. Els veurem junts per què l’un és el conjugat de l’altre.

El dodecàedre
 

 
   
 

El dodecàedre, té dotze cares, com indica el seu nom, totes elles pentàgons. La manera de construir-lo en el dibuix és pensar com és i adaptar les posicions d’anàlisi a les possibilitats del dibuix dièdric.

Si observem la figura veurem que cada cara pentagonal té una cara paral·lela oposada, invertida, i que totes dues tenen una corona de pentàgons contigus, aquestes sis cares són la meitat de la figura. Totes les cares tenen la seva corresponent paral·lela oposada. En la següent figura s’ha dibuixat de diferent color la meitat del dodecàedre inferior.
 

 
   
 


Vegem la construcció dièdrica d’això. Per construir-lo ho podem fer pensant que la figura es pot generar per l’abatiment dels cinc pentàgons (els de la corona inferior) a partir de les seves arestes respectives del pentàgon de la base, que actuen com a eix de gir. Si el situem amb l’aresta de la dreta de punta, aleshores veiem l’abatiment d’una de les cares directament a l’alçat. I en planta sabem que aquest moviment serà perpendicular a la corresponent aresta-eix i necessitem considerar dues cares per saber on acaba el gir. Amb el dibuix acabat veiem que hi ha tres posicions per a les arestes: les que formen els dos pentàgons de base que estaran en vertadera magnitud, les que formen el perímetre de la figura en planta (que separen la part blava de la part blanca en el dibuix) i les que uneixen les primeres amb les segones.
 

 
    L’alçat el podem construir seguint el procés de l’abatiment i prenent les altures de cadascun del punts per sabent que, en aquesta posició, amb dues arestes de punta, es veuran en vertadera magnitud l’altura dels pentàgons que queden projectant i les arestes laterals contigües a aquests.  
 


L’icosàedre

Només queda resoldre la construcció de l’icosàedre que s’obté unint els punts centrals de cadascuna de les cares del dodecàedre formant triangles equilàters. Vegem com seria el seu dibuix dièdric en la posició d’anàlisi que ens ha servit per a construir el primer. I una vista axonomètrica que ens pugui servir per situar-nos.
 

 
   

BIBLIOGRAFIA RECOMANADA

-

© dels textos Isabel Crespo Cabillo

>>  Torna a l'inici de la pàgina

Inici  >>  Temes de geometria  >>  Figures polièdriques